（Ⅰ）f'（x）=-x²+ax-3…（1分）
當a=4時，f'（x）=-x²+4x-3，令f'（x）>0得1<x<3…（2分）
∴當a=4時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，3），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）g'（x）=lnx+1，令g'（x）>0，得x>

1

e

…（4分）
①當t≥

1

e

時，在區(qū)間[t，t+1]上g'（x）>0，g（x）為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（t）=tlnt…（5分）
②當0<t<

1

e

時，在區(qū)間[t，

1

e

)上g'（x）<0，g（x）為減函數(shù)，…（6分）
在區(qū)間(

1

e

，t+1]上g'（x）>0，g（x）為增函數(shù)，…（7分）
∴g(x)min＝g(

1

e

)＝?

1

e

…（8分）
（III） 由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx
∴a＝x+2lnx+

3

x

，…（9分）
令h(x)＝x+2lnx+

3

x

，則h′(x)＝1+

2

x

?

3

x2

＝

(x+3)(x?1)

x2

…（10分）

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h'（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

…（12分）
h(

1

e

)＝

1

e

+3e?2，h（1）=4，h(e)＝e+2+

3

e

h(e)?h(

1

e

)＝4?2e+

2

e

<0…（13分）
∴實數(shù)a的取值范圍為(4，e+2+

3

e

]…（14分）