(1)
an=1+(n-1)d
bn=q^(n-1)
所以
cn=an-bn=1+(n-1)d-q^(n-1)
所以
c2=1+d-q=1/6
c3=1+2d-q^2=2/9
聯(lián)立上兩式,解得
d=1/2,q=4/3或d=-1/6,q=2/3
再根據(jù)
c4=1+3d-q^3=7/54
舍去d=-1/6,q=2/3這一組根
所以
d=1/2,q=4/3
所以
cn=1/2+1/2*n-(4/3)^(n-1)
由上可得
an=1/2+1/2*n
bn=(4/3)^(n-1)
令an的前n項(xiàng)和為An,bn的前n項(xiàng)和為Bn,cn的前n項(xiàng)和為Cn,則：
An=na1+n(n-1)d/2=n+n(n-1)/4=1/4*n^2+3/4*n
Bn=a1*(1-q^n)/(1-q)=[1-(4/3)^n]/(1-4/3)=3*(4/3)^n-3
所以
Cn=An-Bn=1/4*n^2+3/4*n-[3*(4/3)^n-3]=1/4*n^2+3/4*n-3*(4/3)^n+3
(2)
當(dāng)n=5時(shí)
c5=1/2+1/2*5-(4/3)^4=-13/81＜0
成立
假設(shè),當(dāng)n=k（k＞5）時(shí),ck＜0
當(dāng)n=k+1時(shí)
c(k+1)
=1/2+1/2*(k+1)-(4/3)^k
則
c(k+1)-ck
=1/2+1/2*(k+1)-(4/3)^k-[1/2+1/2*k-(4/3)^(k-1)]
=1/2-1/3*(4/3)^(k-1)
可見(jiàn)c(k+1)-ck的值是k的減函數(shù)
當(dāng)k=5時(shí)
c6-c5=1/2-256/243＜0
所以
當(dāng)k＞5時(shí)
c(k+1)-ck＜0
又因?yàn)?br/>ck＜0
所以
c(k+1)＜0
綜上
當(dāng)n≥5時(shí),cn＜0
有點(diǎn)長(zhǎng),哪里沒(méi)看懂再補(bǔ)充吧……