證:設(shè)A是正交矩陣,λ是A的特征值,α是A的屬于λ的特征向量
則 A^TA = E (E單位矩陣),Aα=λα,α≠0
考慮向量λα與λα的內(nèi)積.
一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因?yàn)?α≠0,所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.
即正交矩陣的特征值只能是1或-1 #