an和bn會收斂于一個數(shù)這是很容易就可以得到的——因為an單調有上界,bn單調有下界,而他們的差的極限為零,從而他們極限相等.
重要的是這個極限（設它為t）是所有區(qū)間的唯一公共點.唯一性也可以由極限的唯一性得到,剩下的就是它是所有區(qū)間的公共點了.
用反證法.
我們先構造一個開區(qū)間集,它能覆蓋【a0,b0】：對某一x屬于【a0,b0】,它若不屬于某一個子區(qū)間【an0,bn0】,從而當n>n0,有x亦不會屬于【an,bn】,從而就存在x的某一個鄰域Ex,它與所有n>n0的【an,bn】的交集為空（這里n>n0,而n0的取值跟x的取值有關）.假設這些子區(qū)間沒有公共點,即所有的x屬于【a0,b0】都有這樣的結論了,那么所有屬于[a0,b0]的x都可以有這樣的鄰域,所有的鄰域放在一起就成為了[a0,b0]的一個開覆蓋,按有限覆蓋定理,那這些無限個鄰域中存在[a0,b0]的有限覆蓋,既然是有限個,那就是有有限個x,那與x有關的n0也就只有有限個了,取在這有限個n0的最大值nm,那當n>nm時,[an,bn]就會與這有限個開區(qū)間的交集都為空,而那些開區(qū)間是整個[a0,b0]的覆蓋,當然會覆蓋【an,bn】,矛盾,這就說明并不是所有的x都不屬于某一個子區(qū)間【an0,bn0】,這些所有的子區(qū)間是有公共點的（設為s）.
接著就證明這個點就是t就行了：利用夾逼定理,an