證明有限覆蓋定理閉區(qū)間 [a,b]的任何一個(gè)開覆蓋必有有限子覆蓋

數(shù)學(xué)人氣：511 ℃時(shí)間：2020-04-20 03:18:54

優(yōu)質(zhì)解答

用反證法,結(jié)合閉區(qū)間套定理
設(shè)[a,b]不能被{Jx}中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋
則將[a,b]二等分,必有一個(gè)閉區(qū)間[a1,b1]不能被有限覆蓋
再將[a1,b1]二等分,必有一個(gè)閉區(qū)間[a2,b2]不能被有限覆蓋
如此下去,得到{[an,bn]}閉區(qū)間套,滿足其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能被有限覆蓋
所以存在m∈∩[an,bn],liman=limbn=m
因?yàn)閙∈[a,b],所以在{Jx}中至少有一個(gè)Jp=(α,β)蓋住m
即α