證明：過O點作ON//BC交CD邊于N點；
由題意知O為BD的中點,所以N為CD邊的中點（根據(jù)三角形中位線定理判定）；
連接D1N,D1N與DM相交于H點；
因為ON//BC,BC//A1D1；
所以O(shè)N//A1D1；
所以A1、D1、N、O四個點組成平面A1D1NO；
因為N為CD的中點,M為CC1的中點,容易證得三角形DND1全等于三角形CDM；
所以角CDM=角DD1N；
因為角DD1N+角DND1=90°；
所以角CDM+角DND1=90°；
即角NHD=90°；
所以DM⊥D1N；
因為A1D1⊥平面DCC1D1,DM為平面DCC1D1內(nèi)的一條直線；
所以A1D1⊥DM;
因為直線D1N與直線A1D1相交,且均位于平面A1D1NO內(nèi),由此可知直線DM⊥平面A1D1NO；
又因為A1O為平面A1D1NO內(nèi)的一條直線,所以DM⊥A1O（證得我們的第一個條件）；
連接直線A1B,直線A1D；
因為它們分別是正方形AA1D1D與正方形ABB1A1的對角線,而這兩個正方形又是相等的,所以A1B=A1D；
所以三角形A1DB為等腰三角形；
又因為A1O為BD邊的中線,所以A1O⊥BD(等腰三角形三線合一）；
所以我們證得A1O⊥DM,A1O⊥BD；
因為DM與BD相交,且均位于平面BDM立面,由此可知,A1O⊥平面BDM