設(shè)A1在面BCD的射影為K
1.
證明：因?yàn)锳1K⊥面BCD,且BC在面BCD內(nèi)
所以A1K⊥BC
而DK⊥BC,DK∩A1K=K
所以BC⊥面A1DK
從而BC⊥A1D
又因?yàn)锳1D⊥A1B,A1B∩BC=B
所以A1D⊥面A1BC
2.因?yàn)镃K⊥BC,BC=面A1BC∩面BCD
所以二面角A 1—BC—D為角A1CK
設(shè)DK=x,
A1K=√(A1D²-DK²)=√(12-x²)
BK=√(A1B²-A1K²)=√(36-12+x²)=√(24+x²)
由BK²=CK²+BC²得
24+x²=(6-x)²+12
x=2
于是二面角A1-BC-D的正切值為tanA1CK=A1K/CK=2√2/4=√2/2
3.
用等體積法
V(A1BCD)=1/3*A1K*S(三角形BCD)=1/3*d*S(三角形A1BD),其中d是C到面A1BD的距離
而三角形BCD和三角形A1BD的面積相等
所以d=A1K=2√2
則所求正弦值=2√2/CD=2√2/6=√2/3