（1）易知cosC=0不滿足條件，因此cosC≠0，
由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化為2cos²C+3cosC-2≥0，
解得cosC≥

1

2

，
又0＜C＜π，當(dāng)cosC=

1

2

時(shí)，角C取得最大值

π

3

．
（2）角C取得最大值時(shí)為

π

3

，
∵a=2b，根據(jù)正弦定理可得sinA=2sinB，
∴sin(

2π

3

?B)＝2sinB，化為cosB=

3

sinB，與sin²B+cos²B=1聯(lián)立解得cos²B=

3

4

．
∴a=2b，∴B＜A，∴cosB＝

3

2

．
∴B=

π

6

．