（1）把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；
（2）證明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．（4分）
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（5分）
（3）拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M(?

p

2

，

4q?p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
∴

x1+x2＝?p x1x2＝q

，
∴|AB|＝|x1?x2|＝

(x1+x2)2?4x1x2

＝

p2?4q

．（7分）
∴S△AMB＝

1

2

|AB|?|

4q?p2

4

|＝

1

8

(p2?4q)

p2?4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只須使p²-4q最?。?br>由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以當(dāng)p=-4時(shí)，有最小值4，此時(shí)S_△AMB=1，q=3．（9分）
故拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（10分）