（1）由題意，代入原點(diǎn)到二次函數(shù)解析式
則9-b²=0，
解得b=±3，
由題意拋物線的對(duì)稱軸大于0，

b

2

＞0，
所以b=3，
所以解析式為y=-x²+3x；
（2）設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則

3

2

＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①當(dāng)線段AB、BC的長(zhǎng)都是整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，則
3m-m²＞0且為整數(shù)，3-2m＞0且為整數(shù)，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周長(zhǎng)=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+

1

4

-

1

4

）+6=-2（m-

1

2

）²+

13

2

，
∴當(dāng)m=

1

2

時(shí)，有最大值=

13

2

，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，

5

4

）；
③當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，m=

1

2

，
此時(shí)，矩形ABCD的面積=AB?BC=（3m-m²）（3-2m）=

5

2

，不是最大值．
∵當(dāng)m=

3

4

時(shí)，矩形ABCD的面積=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞

5

2

．
∴當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積不能同時(shí)取得最大值．