證明：取AD中點F，連接EF，
∵△ABC是等腰直角三角形，點M、N分別是邊AC和BC的中點，
∴BC=AC，AC=2CM，BC=2CN，
∴CM=CN，
在△BCM和△ACN中，

BC＝AC ∠C＝∠C CM＝CN

，
∴△BCM≌△ACN（SAS），
∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，
∵NE=2AN，
∴AE=AN，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，
在△EAF和△ANC中，

AE＝AN ∠EAF＝∠ANC AF＝NC

，
∴△EAF≌△ANC（SAS），
∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F為AD中點，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFE中，

AF＝DF ∠AFE＝∠DFE EF＝EF

，
∴△AFE≌△DFE（SAS），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD⊥DE．