n次多項式knx^n+...+k1x+k0,顯然系數不能全為0.
設有n+1個不同的根x1,x2,...,xn+1,則有
knx1^n+...+k1x1+k0=0
knx2^n+...+k1x2+k0=0
...
knxn+1^n+...+k1xn+1+k0=0
將多項式的系數看成這些方程的未知數
則其系數矩陣為
x1^n ...x1 1
x2^n ...x2 1
...
xn+1^n ...xn+1 1
該矩陣的行列式是范德蒙德行列式,因為x1,x2,...,xn+1互不相同,故其行列式不為0.
故該方程只有零解.故kn=k1=k0=0 矛盾
故N次多項式最多只有N個互異的根