證明：作DE⊥BA于點(diǎn)E，CF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，則∠AED=∠BFC=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠CBF，
在△ADE和△BCF中，

∠DEA＝∠CFB ∠DAE＝∠CBF AD＝BC

，
∴△ADE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，DE=CF．
在Rt△DBE和Rt△CAF中，由勾股定理，得
AC²=AF²+CF²=CF²+（AB+AE）²，
BD²=DE²+BE²=CF²+（AB-AE）²，
AD²=AE²+DE²，CB²=BF²+CF²，
則AC²+BD²=CF²+AB²+AE²+2AB?AE+CF²+AB²-2AB?AE+AE²
=（CF²+AE²）+（CF²+AE²）+AB²+AB²
=AB²+BC²+CD²+DA²．
故AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．