證明：證法1：如圖，連DF，則由已知，
∵∠CDF=∠CAB=45°=

1

2

∠CDE，
∴DF為∠CDE的平分線，
連BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，
得FB=FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，
從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線．
∵F是△CDE上兩條角平分線的交點，
∴就是△CDE的內(nèi)心．
證法2：同證法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后，
由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點共圓．
連EF，在證得∠FBD=∠FDB之后，
立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分線．
本來，點E的信息很少，證EF為角平分線應該是比較難的，但四點共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，
因而證法2并不比證法1復雜．
由這個證明可知，F(xiàn)是△DCB的外心．
∠CDF=∠CAB=45°=

1

2

∠CDE，
知DF是∠CDE的平分線，
故F是△CDE的內(nèi)心．
證法3：如圖，只證CF為∠DCE的平分線．由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2，
∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1
得∠1=∠2．
從而∠DCF=∠GCF，
得CF為∠DCE的平分線．
證法4：首先DF是∠CDE的平分線，故
△CDE的外心I在直線DF上．
現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系，并記CA=CB=CD=d，則直線AB是一次函數(shù)
y=-x+d①
的圖象（如圖）．若記內(nèi)心I的坐標為（x₁，y₁），則
x₁+y₁=CH+IH
=CH+HB=CB=d

滿足①，即I在直線AB上，但I在DF上，故I是AB與DF的交點．由交點的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心．
還可延長ED交⊙O于P₁，而CP為直徑來證．