x≠0時,f(x)=x²sin(1/x)
x=0時,f(x)=0
這個函數(shù)在x≠0時,可得其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),也就是說,從這個式子來看,這個函數(shù)在x≠0時是存在導(dǎo)數(shù)的,且導(dǎo)函數(shù)是由基本初等函數(shù)函數(shù)構(gòu)成的,因而在x≠0的部分是連續(xù)的.
現(xiàn)在來求x=0時是否是可導(dǎo)的,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義
lim(a→0)[f(0+a)-f(0)]/a=lim[a²sin(1/a)-0]/a=lim[sin(1/a)/(1/a)]
因為sin(1/a)是有界的,1/a是趨近于無窮大的,因此上述極限等于0,故而原函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)存在且等于0.
但是可以看到lim(x→0)f'(x)這個極限第一部分2xsin(1/x)=0,而第二部分cos(1/x)卻不定,因此極限不存在,故而可以得到你的結(jié)論.
函數(shù)在某一點可導(dǎo),但是導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù).

樓上的把題目看清楚了,可導(dǎo)說明原函數(shù)必定連續(xù),人家問的是導(dǎo)函數(shù)連不連續(xù),不在一個階上.