線性方程組（非其次的）有解的充分必要條件是他的系數(shù)矩陣與他的增廣矩陣有相同的秩.應(yīng)該指出這個判別調(diào)件與消元法是一致的.我們知道用消元法解方程組的第一步就是用初等行變換把增廣矩陣化成階梯型.這個階梯型矩陣在適當(dāng)調(diào)動前n列的順序后可能有兩種情形：一種是不全為0的最后一行為0 0 0……0 d(r+1)
或者是 0 0 0……c（rr)……c（rn） d（r）
在前一種方程無解,后一種有解.事實(shí)上,把這個階梯型矩陣的最后一列去掉,那就是線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等變換所化成的階梯形.這就是說當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同是,方程組有解；當(dāng)增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩加1是方程組無解.
看一下這個方程組a11x1+a12x2+a13x3=b1;a21x1+a22x2+a23x3=b2;
他的系數(shù)矩陣為A={a11 a12 a13 增廣矩陣B{a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23} a21 a22 a23 b2}
他們的秩可能是1或2.有3種可能:
1.r(A)=1,r(B)=1.這就是A的兩行成比例,因而這兩個平面平行.又因?yàn)锽的兩行也成比例所以這兩個平面重合,方程組有解.
2.r(A)=1,r(B)=2.是說兩個平面平行而不重合.方程組無解.
3.r(A)=2,這時r(B)一定為2.在幾何上就是這兩個平面不平行,因而一定相交.方程組無解.
抄書的,當(dāng)打字練習(xí)吧.