1． 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 1874年,康托猜測(cè)在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù),這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè).1938年,哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.1963年,美國(guó)數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的.因此,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否.希爾伯特第1問題在這個(gè)意義上已獲解決.
2． 算術(shù)公理的相容性 歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性.希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明.1931年,哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法.1936年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性.
1988年出版的《中國(guó)大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出,數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決.
3． 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問題
問題的意思是,存在兩個(gè)等邊等高的四面體,它們不可分解為有限個(gè)小四面體,使這兩組四面體彼此全等.M.W.德恩1900年即對(duì)此問題給出了肯定解答.
4． 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題 此問題提得過(guò)于一般.滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多,因而需增加某些限制條件.1973年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布,在對(duì)稱距離情況下,問題獲得解決.
《中國(guó)大百科全書》說(shuō),在希爾伯特之后,在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展,但問題并未解決.
5.一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念,定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的 這個(gè)問題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性,即：是否每一個(gè)局部歐氏群都有一定是李群?中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933,對(duì)緊群情形）、邦德里雅金（1939,對(duì)交換群情形）、謝瓦莢（1941,對(duì)可解群情形）的努力,1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決,得到了完全肯定的結(jié)果.
6.物理學(xué)的公理化 希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理,首先是概率和力學(xué).1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化.后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功.但是物理學(xué)是否能全盤公理化,很多人表示懷疑.
7.某些數(shù)的無(wú)理性與超越性 1934年,A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地解決了問題的后半部分,即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ,1,和任意代數(shù)無(wú)理數(shù)β證明了αβ 的超越性.
8.素?cái)?shù)問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問題等.一般情況下的黎曼猜想仍待解決.哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤(rùn)（1966）,但離最解決尚有距離.目前孿生素?cái)?shù)問題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤(rùn).
9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決.
10． 丟番圖方程的可解性 能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根,稱為丟番圖方程可解.希爾伯特問,能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性?1970年,蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在.
11． 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936,1951）在這個(gè)問題上獲得重要結(jié)果.
12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去 這一問題只有一些零星的結(jié)果,離徹底解決還相差很遠(yuǎn).
13． 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程 七次方程 的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c,即x=x （a,b,c）.這個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來(lái)?蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957）,維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）.但如果要求是解析函數(shù),則問題尚未解決.
14． 證明某類完備函數(shù)系的有限性 這和代數(shù)不變量問題有關(guān).1958年,日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例.
15． 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 一個(gè)典型問題是：在三維空間中有四條直線,問有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個(gè)直觀解法.希爾伯特要求將問題一般化,并給以嚴(yán)格基礎(chǔ).現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法,它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系.但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立.
16． 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯栴} 這個(gè)問題分為兩部分.前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目.后半部分要求討論 的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置,其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3,但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的,已由中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）.
17． 半正定形式的平方和表示 一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0,是否都能寫成平方和的形式?1927年阿廷證明這是對(duì)的.
18． 用全等多面體構(gòu)造空間 由德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決.
19． 正則變分問題的解是否一定解析 對(duì)這一問題的研究很少.C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果.
20． 一般邊值問題 這一問題進(jìn)展十分迅速,已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支.目前還在繼續(xù)研究.
21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決.
22． 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化 它涉及艱辛的黎曼曲面論,1907年P(guān).克伯獲重要突破,其他方面尚未解決.
23． 變分法的進(jìn)一步發(fā)展出 這并不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問題,只是談了對(duì)變分法的一般看法.20世紀(jì)以來(lái)變分法有了很大的發(fā)展.
這23問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域,推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展.