一、 小數(shù)的意義
要了解小數(shù)的意義,可從分?jǐn)?shù)的意義著手,分?jǐn)?shù)的意義可從子分割及合成活動(dòng)來(lái)解釋,當(dāng)一個(gè)整體（指基準(zhǔn)量）被等分后,在集聚其中一部份的量稱(chēng)為「分量」,而「分?jǐn)?shù)」就是用來(lái)表示或紀(jì)錄這個(gè)「分量」.例如：2/5是指一個(gè)整數(shù)被分成五等分后,集聚其中二分的「分量」.當(dāng)整體被分成十等分、百等分、千等分……等時(shí),此時(shí)的分量,就使用另外一種紀(jì)錄的方法－小數(shù).例如1/10記成0.1、2/100記成0.02、5/1000記成0.005……等.其中的「.」稱(chēng)之為小數(shù)點(diǎn),用以分隔整數(shù)部分與無(wú)法構(gòu)成整數(shù)的小數(shù)部分.整數(shù)非0者稱(chēng)為帶小數(shù),若為0則稱(chēng)純小數(shù).由此可知,小數(shù)的意義是分?jǐn)?shù)意義的一環(huán).
二、 小數(shù)的結(jié)構(gòu)
小數(shù)記數(shù)系統(tǒng)是透過(guò)書(shū)寫(xiě)符號(hào)與物理數(shù)量的連結(jié),來(lái)描述其規(guī)則.小數(shù)點(diǎn)往前算（左邊）用以表示整數(shù)部分的量,第一位整數(shù)是紀(jì)錄整數(shù)有幾個(gè)一的量,該位置稱(chēng)為個(gè)位；小數(shù)點(diǎn)往前算的第二位整數(shù)紀(jì)錄是紀(jì)錄有幾個(gè)十的量,該位置稱(chēng)為十位；……,以此類(lèi)推.小數(shù)點(diǎn)往后算（右邊）用以表示小數(shù)部分（不足1）的量,第一位小數(shù)是紀(jì)錄有幾個(gè)十分之一的分量,該位置稱(chēng)為十分位；小數(shù)點(diǎn)往后算的第二位小數(shù)是紀(jì)錄有幾個(gè)百分之一的分量,該位置稱(chēng)為百分位……,以此類(lèi)推.數(shù)的多單位記數(shù)系統(tǒng)中,「十位」、「?jìng)€(gè)位」、「十分位」、「百分位」……等,被稱(chēng)為「位名」；其所指示的數(shù)值「十」、「一」、「0.1」、「0.01」……等,被稱(chēng)為「位值」.「十」、「一」、「0.1」、「0.01」……等,可被用來(lái)當(dāng)作被記數(shù)單位.
另外,「數(shù)」也可以由不同的記數(shù)單位「一」、「0.1」、「0.01」……等,來(lái)共同表示.從上述的小數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)看,讓學(xué)生建構(gòu)小數(shù)的十進(jìn)結(jié)構(gòu)與位值概念,對(duì)學(xué)生的小數(shù)概念發(fā)展而言,是非常重要的.
三、 小數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程
(一) Hiebert與Wearne的「書(shū)寫(xiě)性數(shù)學(xué)符號(hào)能力發(fā)展理論」
1.
可利用學(xué)童所熟悉的指示物與數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生連結(jié).例如,可從生活中的物品(如錢(qián)、公制的測(cè)量等),或教具(如數(shù)學(xué)積木)來(lái)引出小數(shù)的符號(hào)來(lái),讓學(xué)童以后看到「1.8」時(shí),在心中就會(huì)有「1杯水和0.8杯水」.
2.
發(fā)展過(guò)程是指學(xué)童隨著在指示物上的操弄,所發(fā)展出來(lái)的處理符號(hào)的程序.例如,學(xué)童透過(guò)積木的操弄,了解到單位若以"條”表示時(shí)會(huì)有小數(shù)的符號(hào)產(chǎn)生,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)到：不足一單位的量的表示法,除了分?jǐn)?shù)以外,還有小數(shù).
3.
精致化是一種擴(kuò)展語(yǔ)法程序到其他適當(dāng)?shù)那榫车倪^(guò)程.例如,學(xué)童藉由積木了解到,以"條”為單位時(shí),會(huì)有一位小數(shù)出現(xiàn).而精致化的過(guò)程則是可以更進(jìn)一步類(lèi)化到兩位小數(shù)的概念.
4.
學(xué)童如果經(jīng)常練習(xí)語(yǔ)法程序,則可以更有效率的運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)解決問(wèn)題.
5.
學(xué)童把之前所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)符號(hào)與規(guī)則,當(dāng)作是新的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)的指示物,并把前述的四個(gè)認(rèn)知過(guò)程重新再循環(huán)一次,以建立更抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng).
(二)D’Entremont的「小數(shù)學(xué)習(xí)的洋蔥模式」
D’Entremont認(rèn)為小數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程包括五種不同的層次,每一種層次是被外面的層次逐層所包圍.概念性知識(shí)是小數(shù)知識(shí)的核心,學(xué)童為了要獲得小數(shù)的概念性知識(shí),必須一層一層的把上層的表皮給予剝掉.
1.具體物的層次
學(xué)童首先遇到的層次是具體物的層次.教師透過(guò)真實(shí)世界可見(jiàn)的物體引導(dǎo)學(xué)童進(jìn)入小數(shù)的世界.例如,我們可用積木來(lái)介紹小數(shù)的位值概念,若我們把一條積木視為單位「1」,則一個(gè)積木視為「0.1」.
2.操作說(shuō)明的層次
教師從原先使用具體物進(jìn)行教學(xué)的方式,轉(zhuǎn)換成以小數(shù)的符號(hào)表徵形式呈現(xiàn)的教學(xué)方式,其教學(xué)內(nèi)容包括小數(shù)符號(hào)的介紹,以及如何應(yīng)用小數(shù)符號(hào).
3.程序的層次
學(xué)童不但可以單獨(dú)的運(yùn)用符號(hào)來(lái)進(jìn)行小數(shù)的計(jì)算,也可以遵照小數(shù)計(jì)算的規(guī)則來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.但并不會(huì)去反省自己剛剛到底做了哪些步驟.因此,即使學(xué)童會(huì)運(yùn)算,并不代表該生就一定理解其背后的意義.
4.心智模式的層次
學(xué)童在心智模式的層次,不但不會(huì)盲目的遵循算則公式,而且還能清楚的知道他們解題時(shí)的理由.
5.抽象的層次
此時(shí)學(xué)童對(duì)於小數(shù)已有不錯(cuò)的直覺(jué),不再需要可見(jiàn)的物體來(lái)幫助理解,他們對(duì)於「如何處理小數(shù)的問(wèn)題」以及「為什麼」接能夠給予統(tǒng)整起來(lái).學(xué)童唯有達(dá)到這個(gè)階段,才可獲得小數(shù)知識(shí)的核心------小數(shù)概念的理解.
四、加減乘除
加法 把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算 把兩個(gè)小數(shù)合并成一個(gè)小數(shù)的運(yùn)算 把兩個(gè)分?jǐn)?shù)合并成一個(gè)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算
減法 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算
乘法 求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算 小數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法意義相同
一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)就是求這個(gè)數(shù)的十分之幾,百分之幾…… 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法意義相同
一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾
除法 已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算 與整數(shù)除法的意義相同 與整數(shù)除法的意義相同