給你提供兩種方法
方法一
假設(shè)存在這樣的函數(shù)f,則有f(x+2011)=f(f(f(x)))=f(x)+2011
用歸納法可得,f(x+2011m)=f(x)+2011m （m屬于整數(shù)）
令i,j屬于｛0、1、2……、2010｝=M
若f(i)≡j(mod2011),設(shè)j=f(i)+2011k
則有f(j)=f[f(i)+2011k]≡f[f(i)]≡i(mod2011)
因?yàn)镸的元素個(gè)數(shù)為奇數(shù),故總存在x屬于N,使f(x)≡n(mod2011)
設(shè)f(x)=x+2011k(k屬于整數(shù))
則f[f(x)]=f(x+2011k)=f(x)+2011k=x+2011k*2k (k屬于整數(shù))
因?yàn)閒[f(x)]=x+2011,所以2k=1,矛盾
所以不存在.
方法二（這個(gè)比較簡(jiǎn)單,但不好理解）
假設(shè)存在這樣的函數(shù)f,則利用已知的函數(shù)方程可知,對(duì)于任何r屬于｛1、2、3……2010｝=S,都存在 l屬于S,r不屬于S,使得f(r)=l+2011,f(l)=r或者f(r)=l,f(l)=r+2011,
定義映射g :r→l(都屬于S),則l為雙射且當(dāng)g(r)=l,g(l)=r,
這意味著S中元素的個(gè)數(shù)是偶數(shù),不可能.