f(x)=ax+(a-1)/x+1-2a(a>0)若f(x)>=lnx在[1,+無窮大）上恒成立,求a的取值范圍
f(x)=ax+(a-1)/x+1-2a(a>0)若f(x)>=lnx在[1,+無窮大）上恒成立,求a的取值范圍
數(shù)學(xué)人氣：163 ℃時間：2020-05-21 14:57:15
優(yōu)質(zhì)解答
f(x)>=lnx,x>=1,恒成立,即：ax+(a-1)/x+1-2a>=lnx,亦即a[x^2-2x+1]>=xlnx-x+1,在x>=1上恒成立.顯然當(dāng)x=1,上式取等號恒成立.當(dāng)x>1,分離常數(shù)a,并記a的表達(dá)式為h(x)得：a>=(xlnx-x+1)/(x-1)^2=h(x),于是此恒成立問題便轉(zhuǎn)化為：a>=maxh(x),x>1.求導(dǎo)易得：h'(x)=(2x-xlnx-lnx-2)/(x-1)^3,x>1.下面討論h'(x)的符號,注意到分母大于零.現(xiàn)在記分子為g(x)=2x-xlnx-lnx-2,x>1.求導(dǎo)易得g'(x)=-lnx0,則g(x)在x>1上單減.補(bǔ)充定義g(1)=0,則易知g(x)在x=1連續(xù),于是當(dāng)x>1,有g(shù)(x)
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