實(shí)二次型正定的充要條件是正慣性指數(shù)為n.
而負(fù)慣性指數(shù)為0不能推出正慣性指數(shù)為n.因?yàn)檎?fù)慣性指數(shù)之和不一定是n.
舉個(gè)簡單的例子,三元二次型：f=x1^2+x2^2+x3^2,正慣性指數(shù)為3,正定.
而如果是f=x1^2,負(fù)慣性指數(shù)為0,但正慣性指數(shù)為1,因此不正定.
負(fù)慣性指數(shù)為0只能說明是半正定.這前面不是說了嗎？n為3的時(shí)候，本題x2與x3不出現(xiàn)，但并不代表這兩個(gè)變量不存在。比如：f=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3 這是三元二次型吧？標(biāo)準(zhǔn)化之后就變成f=y1^2了，此時(shí)y2和y3也是變量，只不過沒出現(xiàn)，二次型仍是三元的。