充分性：由于A,B正定所以有可逆矩陣P、Q使A=PtP,B=QtQ,xtAx=xtPtPx=(Px)tPx=(Px)^2>0,xtBx=(Qx)tQx=(Qx)^2>0,xtABx=xtPtPQtQx,AB=BA時,(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA=AB說明AB是對稱矩陣,Q(AB)Q^-1=QPtPQtQQ^-1=QPtPQt=(PQt)tPQt,由于PQt為可逆矩陣因而(PQt)tPQt是正定矩陣.令其為矩陣C,Q^-1CQ=AB,即AB相似于一正定矩陣,由這一點可以得出AB的所有特征值全部大于0,AB又是對稱矩陣,根據(jù)正定矩陣的相關(guān)定理,說明AB是一正定矩陣.
必要性：由AB是正定矩陣推出AB為對稱矩陣,又有充分性證明中,A=PtP,B=QtQ兩個條件,因此就有AB=PtPQtQ=(AB)t=(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA,即AB=BA說明A,B可換
注：Pt指P的轉(zhuǎn)置,Q^-1指Q的逆矩陣