已知：f(x)=(x²＋3x+2a)/x,x∈[2,+∞）
1、a=1/2時(shí),f(x)=(x²＋3x+1)/x=3 + x + 1/x；其導(dǎo)函數(shù)f'(x)=(x²-1)/x²,
顯然,當(dāng)x>1時(shí)f'(x)>0恒成立,即f(x)在x∈(1,+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)
∵x∈[2,+∞),∴f(x)在此區(qū)間上恒為單調(diào)遞增函數(shù),f(x)min=f(2)=3+2+1/2=5.5
2、f(x)>0,對于任意x∈[2,+∞）恒成立
f(x)=(x²＋3x+2a)/x=3 + x + 2a/x>0
（1）a=0時(shí),f(x)=3+x,x≧2,f(x)≧5>0,成立；
（2）a>0時(shí),f(x)=3 + x + 2a/x,根據(jù)均值不等式（a>0,b>0,則a+b≧2√ab）
f(x)≧3+2√2a >0,成立；
（3）a0,x∈[2,+∞）要恒成立,
即x∈[2,+∞）時(shí),x²＋3x+2a>0恒成立,若令g(x)=x²＋3x+2a
此關(guān)于x的一元二次函數(shù),∵其函數(shù)圖像的對稱軸為x=-3/2,且開口向上,
∴在區(qū)間x∈[-3/2,+∞）上,g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),又已知x∈[2,+∞),
∴在已知區(qū)間上,g(x)恒為單調(diào)遞增函數(shù),
∴f(x)>0,對于任意x∈[2,+∞）恒成立,即g(2)=2²＋3*2+2a>0恒成立,
解得a>-5
綜上所述,可得：a>-5
望能幫助讀者釋疑!