這個式子是對的,由于f(x)是以T為周期,因此在一個周期內(nèi)函數(shù)所圍的曲邊梯形面積肯定是相同的所以你得出這個結(jié)論并不奇怪,只是這樣可能證不出結(jié)論.
本題如果用換元法,應(yīng)該這樣證明
∫[a→a+T] f(x)dx
=∫[a→0] f(x)dx + ∫[0→T] f(x)dx + ∫[T→a+T] f(x)dx
然后通過換元證明第一項和第三項正好抵消.
下面提供一個更簡單的證法：
將a看作變量,令g(a)=∫[a→a+T] f(x)dx
則：g'(a)=f(a+T)-f(a)=0,因此g(a)與a無關(guān),則g(a)=g(0)
即∫(a→a+T)f(x)dx=∫(0→T）f(x）dx
【數(shù)學(xué)之美】團隊為你解答.