任意三角形ABC,分別以AB,AC為斜邊作等腰直角三角形ADB和AEC,F 為BC中點,連接DF,EF,求證 DF=EF

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優(yōu)質解答

分別取AB、AC的中點為M、N.
∵AD⊥BD、AD＝BD、AM＝BM,∴DM＝AB/2、∠DMB＝90°.
∵AE⊥CE、AE＝CE、AN＝CN,∴NE＝AC/2、∠ENC＝90°.
∵M、F分別是AB、BC的中點,∴MF＝AC/2、MF∥AC,∴∠BMF＝∠BAC.
∵N、F分別是AC、BC的中點,∴FN＝AB/2、NF∥AB,∴∠CNF＝∠ABC.
由DM＝AB/2、FN＝AB/2,得：DM＝FN.
由MF＝AC/2、NE＝AC/2,得：MF＝NE.
由∠DMB＝∠ENC＝90°、∠BMF＝∠CNF＝∠ABC,得：∠DMB＋∠BMF＝∠ENC＋∠CNF,
∴∠DMF＝∠FNE.
由DM＝FN、MF＝NE、∠DMF＝∠FNE,得：△DMF≌△FNE,∴DF＝EF.