已知圓的方程為x2+y2=r2，圓內(nèi)有一定點(diǎn)P（a，b），A，B是圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA⊥PB，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

已知圓的方程為x²+y²=r²，圓內(nèi)有一定點(diǎn)P（a，b），A，B是圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA⊥PB，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

數(shù)學(xué)人氣：396 ℃時(shí)間：2020-11-10 07:03:00

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），又P（a，b），
則x₁+x₂=x+a，y₁+y₂=y+b，

=（x₁-a，y₁-b），

=（x₂-a，y₂-b）．
由PA⊥PB，得

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+（y₁-b）（y₂-b）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-a（x₁+x₂）-b（y₁+y₂）+a²+b²=0，
即x₁x₂+y₁y₂=ax+by ①
又∵點(diǎn)A、B在圓上，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=r²，②
再由|AB|=|PQ|，得（x₁-y₁）²+（x₂-y₂）²=（x-a）²+（y-b）²，
整理得：x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（x-a）²+（y-b）²，③
把①②代入③得：x²+y²=2r²-a²-b²+2r²．
∴矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為：x²+y²=2r²-a²-b²．

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已知圓的方程為x2+y2=r2，圓內(nèi)有一定點(diǎn)P（a，b），A，B是圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA⊥PB，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

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