二元一次方程組(一)
一、重點、難點
1、二元一次方程及其解集
(1)含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)項的次數(shù)是1的整式方程叫二元一次方程．
(2)二元一次方程的解是無數(shù)多組．
2、二元一次方程組和它的解
(1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組．
(2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解．
3、二元一次方程組的解法
(1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示,然后代入另一個方程,就可以消去一個未知數(shù)．
(2)加減消元法：先利用等式的性質(zhì),用適當(dāng)?shù)臄?shù)同乘以需要變形的方程的兩邊,使兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等,然后把兩個方程的兩邊分別相加或相減,就可以消去這個未知數(shù)．
4、三元一次方程組及其解法
(1)含有三個未知數(shù),每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1,并且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組．
(2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”(將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題,再將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”)．
二、例題分析：
例1: 在方程2x-3y=6中,1)用含x的代數(shù)式表示y．2)用含y的代數(shù)式表示x．
答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y
例2:已知x+y=0,且|x|=2,求y+2的值．
∵|x|=2
∴x=2,或x=-2
又∵x+y=0
∴y=-2,或y=2
故y+2=0,或y+2=4
例3：已知方程組的解是 ,求a與b的值
分析：方程組的解就是適合原方程組,所以將 代入方程可以得到關(guān)于a,b的新的方程.
因為方程組
的解是
所以
（1）×2得2a-4=2b (3)
（3）-（2）得-5=2b-2
∴b=-
將b=- 代入（1）得a=
∴
答案：a= , b=-
例4：方程x+3y=10在正整數(shù)范圍內(nèi)的解有_____組,它們是________________.
答案：3；
例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為______．
答案：3x-5y+17=0
例6：已知關(guān)于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2.
當(dāng) k=_____時,方程為一元一次方程,
當(dāng) k=_____時,方程為二元一次方程.
分析：題目中沒有規(guī)定未知數(shù),所以x,y都可以.因此注意分兩種可能.
第一問∵關(guān)于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程,
∴ （1）或 （2）
方程組（1）的解為k=-1,(2)無解
∴當(dāng)k=-1時原方程為一元一次方程
第二問∵關(guān)于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程
∴
解得k=1
∴當(dāng)k=1時原方程為二元一次方程
例7：二元一次方程組的解中x與y互為相反數(shù),求a的值
∵原方程組的解中x與y互為相反數(shù)
∴x=-y（1）
將（1）代入原方程組,得

∴a=
二元一次方程組（二）
一、對應(yīng)用題的觀察和分析
利用二元一次方程組解有關(guān)的應(yīng)用題時,對應(yīng)用題進行觀察和分析,要著重注意如下三點：
(1)題中有哪幾個未知數(shù)(包括明顯的未知數(shù)和隱含的未知數(shù))?
(2)題中的未知數(shù)與已知內(nèi)容之間有哪幾個相等關(guān)系(包括明顯的相等關(guān)系和隱含的相等關(guān)系)?——題中有幾個未知數(shù),一般就要找出幾個相等關(guān)系.
(3)設(shè)立哪幾個未知數(shù),利用哪幾個相等關(guān)系,可以較方便地把其余未知數(shù)用所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來?(利用剩下的等量關(guān)系列方程組.)
二、常見幾類應(yīng)用題及其基本數(shù)量關(guān)系
明確各類應(yīng)用題中的基本數(shù)量關(guān)系,是正確列出方程的關(guān)鍵.常遇到的幾類應(yīng)用題及其基本關(guān)系如下：
1.行程問題：基本關(guān)系式為: 速度×?xí)r間=距離
2.工程問題：基本關(guān)系式為:
工作效率×工作時間=工作總量
計劃數(shù)量×超額百分數(shù)=超額數(shù)量
計劃數(shù)量×實際完成百分數(shù)=實際數(shù)量
3.百分比濃度問題：基本關(guān)系式為: 溶液×百分比濃度=溶質(zhì)
4.混合物問題：基本關(guān)系式為:
各種混合物重量之和=混合后的總重量
混合前純物重量=混合后純物重量
混合物重量×含純物的百分數(shù)=純物的重量
5.航行問題：基本關(guān)系式為:
靜水速度+水速=順?biāo)俣?
靜水速度-水速=逆水速度
6.數(shù)字問題要注意各數(shù)位上的數(shù)字與數(shù)位的關(guān)系.
7.倍比問題,要注意一些基本關(guān)系術(shù)語,如：倍、分、大、小等.
三、例題精析
如何分析應(yīng)用題：
例1. 某單位外出參觀.若每輛汽車坐45人,那么15人沒有座位；若每輛汽車坐 60人,則恰好空出一輛汽車,問共需幾輛汽車,該單位有多少人?
思考如下：
（1）題目中的已知條件是什么?
（2）“有人沒有座位”是指什么意思?“有空座位”是指什么意思?3.基于上述分析,那么已知條件“每輛車坐45人,15人沒有座位”可理解成什么?“每輛車坐60人,恰好空出一輛車”又可理解成什么?
設(shè)該單位共有x輛車,y個人.依題意,得
解這個方程組,得
答：該單位共有5輛車,240人.
例2. 汽車從甲地到乙地,若每小時行駛45千米,就要延誤 小時到達；若每小時行駛50千米,就可以提前 小時到達.求甲、乙兩地間的距離及原計劃行駛的時間.
思考問題：
（1）路程、速度、時間三者關(guān)系是什么?
（2）本題中的“延誤”和“提前”都是以什么為標(biāo)準(zhǔn)的?
（3）基于上述分析,那么已知條件“汽車每小時行使45千米,則要延誤 小時到達目的地”可理解成什么?已知條件“若每小時行駛50千米,就可以提前 小時到達目的地”又可理解成什么?
設(shè)甲、乙兩地的距離為x千米,原計劃行駛時間為y小時.依題意,得
解這個方程組,得
答：甲、乙兩地間的距離是450千米,原計劃行使時間為 小時.
例3. 甲、乙兩人在周長是400米的環(huán)形跑道上散步.若兩人從同地同時背道而行,則經(jīng)過2分鐘就相遇.若兩人從同地同時同向而行,則經(jīng)過20分鐘后兩人相遇.已知甲的速度較快,求二人散步時的速度.(只列方程,不求出)
分析：這個問題是環(huán)形線上的相遇、追及問題.其中有兩個未知數(shù)：甲、乙二人各自的速度.有兩個相等關(guān)系,即
(1)背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和=400米；
(2)同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400米.
設(shè)甲人速度為每分鐘x米,乙人速度為每分鐘行走y米.依題意,得
四、如何設(shè)未知數(shù)
列方程解應(yīng)用題的第一步是設(shè)未知數(shù),設(shè)未知數(shù)的方法很多,有時可直接設(shè)所求量為未知數(shù),有時應(yīng)間接地設(shè)未知數(shù),還有的時候需要增設(shè)輔助未知數(shù).那么,如何巧設(shè)未知數(shù),以達到迅速解題的目的呢?
直接設(shè)所求量為未知數(shù)
例1. A,B兩地相距 20千米.甲、乙兩人分別從A,B兩地同時相向而行,兩小時后在途中相遇,然后甲返回A地,乙仍繼續(xù)前進,當(dāng)甲回到A地時,乙離A地還有2千米.求甲、乙的速度.
分析：這個問題是直線行駛中的相遇、追及問題.其中設(shè)兩個未知數(shù)：甲、乙各自的速度,有兩個相等關(guān)系.
設(shè)甲人的速度是每小時行x千米,乙人的速度是每小時y千米.依題意,得
解這個方程組,得
合理選擇,間接設(shè)元
許多同學(xué)在解應(yīng)用題時只考慮題目要求什么就設(shè)什么為未知數(shù).這種方法有時很難尋找已知量與未知量之間的相等關(guān)系.因此,我們應(yīng)根據(jù)題目條件選擇與要求的未知量有關(guān)的某個量為未知數(shù),以便找出符合題意的相等關(guān)系,從而達到解題的目的.
例2. 從夏令營到學(xué)校,先下山然后走平路,某同學(xué)先騎自行車以每小時12千米的速度下山,而以每小時9千米的速度通過平路,到達學(xué)校共用55分鐘,他回來的時候以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山回到夏令營用了1 小時.從夏令營到學(xué)校有多少千米?
分析：根據(jù)題設(shè)條件,若設(shè)山路長為未知數(shù)x,則由來回的平路長相等得方程：
9 ；
同樣可設(shè)平路長為未知數(shù),由來回山路長相等得方程 12
還可設(shè)山路長和平路長分別為x千米,y千米,由來回的時間關(guān)系建立二元一次方程組
或設(shè)下山和上山的時間分別為x小時,y小時.由來回山路長和平路長分別相等得到二元一次方程組
設(shè)而不求,巧用輔助量
當(dāng)應(yīng)用題中涉及的量較多,各個量之間的關(guān)系又不明顯時,可適當(dāng)?shù)卦鲈O(shè)輔助未知數(shù),目的不是要具體地求出它們的值,而是以此作橋梁,溝通各個數(shù)量之間的關(guān)系,為列方程(組)創(chuàng)造條件.在解題過程中需將輔助未知數(shù)消去,以便求出所需未知數(shù)的值.
例1. 一客輪逆水行駛,船上一乘客掉了一件物品,浮在水面上,等乘客發(fā)現(xiàn)后,輪船立即掉頭去追,已知輪船從掉頭到追上共用5分鐘,問乘客丟失了物品,是幾分鐘后發(fā)現(xiàn)的?
設(shè)x分鐘后發(fā)現(xiàn)掉了物品,船靜水速為V1,水速為V2,由題意得
(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2),
xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2,
xV1＝5V1,
∵V1≠0,∴x＝5.
答：乘客5分鐘后發(fā)現(xiàn)掉了物品.
注：這里的輔助未知數(shù)是V1和V2