證明：
（1） 在RtΔCGD和RtΔCFB中,GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC
∴ RtΔCGD∽R(shí)tΔCFB
(AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD.1)
過(guò)D作DH//FA交BF于H,則AD=FH
則 RtΔGHF∽R(shí)tΔCBF
BC:BF=BD:FH=BD:AD.2)
比較1）、2） 可得：BD=2CD
又 RtΔCBE∽R(shí)tΔCDA
則 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3
即 AD=BE/3
由2）知道,AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3
所以,BE=2BF,即EF=BF
（2）在平行四邊形ADHF中,DH=FA
BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4
∵ 在RtΔABC中,AD^2=BD*CD=BD^2/2,即,BD^2=2AD^2
∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4
FA=3AD/2=BF
∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO
∴ ΔOBF≌ΔOAF
∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF
即,PA是圓O的切線
（3）
若FG=BF,且半徑長(zhǎng)BO=AO=3√2
則 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4
BD=√5AD/2
又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2
(2AO-BD)BD=AD^2
√5AO-5AD/4=AD
AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3
所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3
FG=3AD/2=2√10