概念：1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數(shù)：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時取“=”號 均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當(dāng)r不等于0時); (a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 則有：當(dāng)r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上簡化,有一個簡單結(jié)論,中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√〔(a^2+b^2)/2〕
編輯本段均值不等式的變形
(1)對實數(shù)a,b,有a^2+b^2≥2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號),a^2+b^2>0>-2ab (2)對非負(fù)實數(shù)a,b,有a+b≥2√(a*b)≥0,即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)對負(fù)實數(shù)a,b,有a+b<0<2√(a*b) (4)對實數(shù)a,b,有a(a-b)≥b(a-b) (5)對實數(shù)a,b,有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)對實數(shù)a,b,有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)對實數(shù)a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)對實數(shù)a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)對非負(fù)數(shù)a,b,有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)對實數(shù)a,b,c,有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
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