設(shè)x ∈ s1,且y ∈ s2
那么x-y ∈s3.
根據(jù)已知條件,
因?yàn)閤-y ∈ s3,且x ∈ s1
所以-y ∈ s2.
同理可證,-x ∈ s1,以及y-x∈ s3
因此,對(duì)于任意一個(gè)集合,它的元素都是成對(duì)（一正一負(fù)）出現(xiàn)的.
容易知道,x+y ∈ s3,-x-y∈ s3.
如果某個(gè)集合（如S2）中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全
部相同,S1=S3.
如果x（∈ S1）,y（∈ S2）都不是0,
那么S3中的元素x+y和x-y中必有一個(gè)的絕對(duì)值小于x和y中絕對(duì)值較大的一個(gè)（分同號(hào)和異號(hào)討論）.
設(shè)|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重復(fù)使用上述規(guī)則,
從而得到一串絕對(duì)值遞減的數(shù)列：|x|,|x-y|,|x-2y|,……
但是絕對(duì)值遞減的整數(shù)列不能無(wú)限下去,因此必然最終得到0（無(wú)窮遞降法）.
所以,我們證明了必然有一個(gè)集合中含有0元素.
從而得到結(jié)論