首先注意,Q(i)不是復(fù)數(shù)域,只是一個(gè)子域,復(fù)數(shù)域的自同構(gòu)可能有很多（取決于選擇公理）.
如果想界定自同構(gòu)的個(gè)數(shù),最基本的得知道恒等映射是自同構(gòu),然后只要找非恒等的映射就行了.
先證明Q的自同構(gòu)只有恒等映射,因?yàn)閒(0)=0,f(1)=1,然后對(duì)正整數(shù)m,n,
f(mx)=f(x)+...+f(x)=mf(x),可以推出f(m)=mf(1)=m,
再由f(1)=f(n/n)=nf(1/n)得到f(1/n)=1/n,所以f(m/n)=m/n,
最后x>0時(shí)f(-x)=f(0)-f(x)=-x.
如果f是Q(i)的自同構(gòu),那么按上面的討論f限制在Q上必須是自同構(gòu),既然如此,-1=f(-1)=f(i)f(i),可得f(i)=i或者f(i)=-i,f由f(1)和f(i)唯一確定,所以只有兩個(gè)解（恒等映射和復(fù)共軛）.
另一題不講了,你完全可以自己做,連這種題拿出來(lái)問(wèn)屬于不動(dòng)腦筋.