高于四次不是沒有公式,是沒有用根式表示的公式,但如五次方程就可以用橢圓函數(shù)或三角函數(shù)解出準(zhǔn)確值.一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化簡得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關(guān)于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達(dá)定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8）,可令A(yù)＝y(tǒng)1,B＝y(tǒng)2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y(tǒng)1,B＝y(tǒng)2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解,按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個根,不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了.
x^y就是x的y次方
好復(fù)雜的說
塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫坐標(biāo)平移y=x+s/3,那么我們就可以把方程的二次項消
去.所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程.
假設(shè)方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這里a和b是待定的參數(shù).
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知,一定可以適當(dāng)選取a和b,使得在x=a-b的同時,
3ab+p=0.這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p3 = 27qa3
這是一個關(guān)于a3的二次方程,所以可以解得a.進(jìn)而可解出b和根x.
費拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一樣,可以用一個坐標(biāo)平移來消去四次方程
一般形式中的三次項.所以只要考慮下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
關(guān)鍵在于要利用參數(shù)把等式的兩邊配成完全平方形式.考慮一個參數(shù)
a,我們有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右邊是完全平方式當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式為0,即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
這是一個關(guān)于a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我們可以
解出參數(shù)a.這樣原方程兩邊都是完全平方式,開方后就是一個關(guān)于x
的一元二次方程,于是就可以解出原方程的根x.