求lim{[(sinx)/x]+xsin(1/2x)}(x→∞)
用極限的可加性拆成lim (sin x/x)和lim[xsinx(1/2x)]
sin x/x,因?yàn)閤→∞,所以1/x 趨向0,sinx在1和-1之間振蕩,兩者相乘極限是0 ,故lim (sin x/x)=0.
從而：lim[sinx/x+xsinx(1/2x)](x→0)
=lim (xsin x/x)+limxsinx(1/2x)
=0+lim(sinx/x)
=limxsinx(1/2x)
又當(dāng)x→∞時(shí),1/2x～0,sin(1/2x)～1/2x
故limxsin(1/2x)=limx*1/2x=1/2
lim[xsinx+xsinx(1/2x)](x→∞)=1/2.
PSSS:當(dāng)x→∞,1/2x～0,sin(1/2x)～1/2x這個(gè)沒疑問吧?!高數(shù)書中當(dāng)已知條件給出的.
如下：
當(dāng)x→0時(shí),
sinx～tanx～arcsinx～arctanx；
1-cosx～x^2/2；
ln(1+x)～e^x-1；
a^x-1～xlna(a＞0,a≠1)；
(1+a)^a-1～ax(a≠0是常數(shù))；
當(dāng)x→1時(shí),lnx～x-1.