證明很長(zhǎng)的,要用兩個(gè)引理.
引理一：證明對(duì)于滿足聚點(diǎn)的X,(Ui)為一個(gè)覆蓋,那么存在r>0,使得任意x屬于X,都存在i,滿足B'(x,r)屬于Ui.B'(x,r)是x為中心,r為半徑的球.
引理二：對(duì)于滿足聚點(diǎn)的X,那么對(duì)任意r>0,都存在有限點(diǎn)集(xk),滿足X等于所有B'(xk,r)的并集.
最后是定理的證明：假設(shè)如上的X和(Ui).由引理一,存在如此的r>0.再由引理二,對(duì)于這個(gè)r,存在如此的(xk).于是X可以被(Uk)所覆蓋,因?yàn)槊總€(gè)Uk包含B'(xk,r).
兩個(gè)引理的證明你先想一想,實(shí)在做不了再pm我.
第一個(gè)對(duì)于r=2^(-n),取對(duì)應(yīng)xn,推出矛盾；第二個(gè)可以取數(shù)列(xn),使得任意兩個(gè)距離大于r,推出矛盾.