下面只證明M（x）在[a,b]上連續(xù),m(x) 的證明類似.
任給 x0 屬于[a,b]:
情形1.f(x0) = M（x),
任給 e > 0,根據(jù)連續(xù)性,存在t > 0,使得 當 x屬于 x0 的 t-鄰域時,|f(x)-f(x0)| f(x0) - e = M(x0) - e.
2.如果 x < x0,顯然 M(x) x0,M(x) = sup{M(x0),f(s)},x0