計(jì)算Ω∫∫∫xyzdxdydz,其中 Ω：x²+y²+z²=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域
積分域Ω是一個(gè)球心在原點(diǎn),半徑為1的球在第一掛限內(nèi)的部分,用球坐標(biāo)計(jì)算比較方便.
(0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2,0≦r≦1).
Ω∫∫∫xyzdxdydz=Ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=Ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
={[(r^6)/6]︱[0,1]}{[(1/4)sin⁴φ]︱[0,π/2]}{[(1/2)sin²θ]︱[0,π/2]}
=(1/6)(1/4)(1/2)=1/48