由f（x）為奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

?bx+c

ax2+1

=0，
∴c=0．
 又a＞0，b是自然數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
 當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0時(shí)取得；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

，
當(dāng)且僅當(dāng)ax=

1

x

，即x=

1

a

時(shí)取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²，
又f（1）＞

2

5

，
∴

b

b2+1

＞

2

5

，
∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴

1

2

＜b＜2 又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1，
∴f（x）=

x

x2+1

．