證明曲線xyz=1任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的體積是常數(shù)?

數(shù)學(xué)人氣：215 ℃時(shí)間：2020-02-06 12:27:10

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)曲面上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0,z0)
滿足x0*y0*z0=1
該點(diǎn)處法向量=(y0*z0,x0*z0,x0*y0)
切平面方程為：
y0*z0*(x-x0)+x0*z0*(y-y0)+x0*y0*(z-z0)=0
該平面與x、y、z軸相交得到一個(gè)四面體
把x0=0,y0=0代入得到z=3*z0
同理可得：x=3*x0,y=3*y0
該四面體互相垂直的三條棱長(zhǎng)分別為l(x)=3*x0、l(y)=3*y0、l(z)=3*z0
∴體積
=S(xy)*l(z)/3
=l(x)*l(y)*l(z)/6
=(3^3)*(x0*y0*z0)/6
=9
∴三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的體積為一定數(shù)9