樓上幾位的證明的起點都嫌晚,不安全,有可能用了較晚的定理去證明較早的事實.這個命題這么基本,應(yīng)該用邏輯鏈上更早前的、近于公理的事實以及圓和直徑的基本定義來證明.
直徑定義為兩條共線的半徑,那么命題等價于：圓中最大弦必過圓心.
注意：有的體系中(如凸論)可能把直徑就定義為最大弦,那就不存在樓主這樣的證明要求了.
用反證法：假定圓中有不過圓心O的最大弦AB
那么OAB就構(gòu)成一個三角形,于是OA+OB>AB（三角形兩邊之和大于第三邊）,但根據(jù)圓的定義,OA=OB=R（定長）,所以O(shè)A+OB=2R=d(直徑長),即得d>AB.然而按定義,直徑是圓的弦,這就與弦AB的最大性相矛盾,故假設(shè)不成立.