設(shè)平面π 過點A(2,0,0)、B(1,2,1)、C(−1,1,2),則π 的法向量n = .
設(shè)所求平面的法向矢量為{M,N,P},其中M、N、P不同時為零,因為平面過B(1,2,1)
故平面方程可寫為M(x-1)+N(y-2)+P(z-1)=0.(1)
又因為A(2,0,0)和C(-1,1,2)也在此平面上,故得下列兩個條件：
M(2-1)+N(0-2)+P(0-1)=0；M(-1-1)+N(1-2)+P(2-1)=0；化簡得：
M-2N-P=0.(2)
-2M-N+p=0.(3)
由(1)(2)(3)組成的關(guān)于M、N、P的齊次方程組有非零解的條件為下面的三階行列式＝0,即
∣x-1.y-2.z-1∣
∣1.-2.-1..∣=0
∣-2.-1.1.∣
展開得(x-1)(-2-1)-(y-2)(1-2)+(z-1)(-1-4)= -3(x-1)+(y-2)-5(z-1)=0
即 -3x+y-5z+6=0為該平面的方程,其法向量n={-3,1,-5}