設(shè)在橢圓上有一點(diǎn)P（x1,y1)經(jīng)過(guò)此點(diǎn)橢圓的切線方程為：x1*x/a^2+y1*y/b^2=1
方法一：設(shè)切線的方程為Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo ①
把①式代入橢圓方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：
X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：
b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：
(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
由于切線Y-Yo=k(X-Xo)與橢圓X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切,所以上式方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
則△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
則有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)
把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切線方程Y-Yo=k(X-Xo),得：
(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2 ②
又把點(diǎn)(Xo,Yo)代入橢圓方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：
Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1 即 b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2 ③
把③式代入②式,得：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2
等式兩邊同時(shí)除以a^2·b^2,得：
Xo·X/a^2 + Yo·Y/b^2=1
方法二：用隱函數(shù)求導(dǎo)
有 橢圓方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：
b²x²+a²y²-a²b²=0
2b²x+2a²y*(dy/dx)=0
(dy/dx)=-b²x1/(a²y1)
即k=-b²x1/(a²y1)
則切線方程是：y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)
(y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0
a²yy1+b²x1x-（a²y1²+b²x1²）=a²yy1+b²x1x-a²b²=0
即：xx1/a²+yy1/b²=1
雙曲線過(guò)點(diǎn)（x0,y0)的切線為
x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1
證明：x²/a²-y²/b²=1.對(duì)x求導(dǎo)：2x/a²-2yy′/b²=0.
（x0,y0）的切線斜率y′=x0b²/y0a²
（x0,y0）的切線方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）.
注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².
切線方程k可化簡(jiǎn)為：x0x／a²-y0y／b²＝1.
求拋物線:y^2=2px 在點(diǎn)(a,b)處切線的方程
拋物線方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):得:
2yy'=2p 即 y'=p/y
故拋物線在(a,b)處切線的斜率為p/b
所以在(a,b)處切線方程為:y-b=（p/b）(x-a)
又:b^2=2pa 所以 y+b=p(x+a)
即拋物線y^2=2px在(a,b)處切線方程為:y+b=p(x+a)