（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，
∴d=-d，即d=0 （或由f（0）=0得d=0），
∴f（x）=ax³+cx，
則f′（x）=3ax²+c，又當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-2，
∴

f(1)＝?2 f′(1)＝0

，即

a+c＝?2 3a+c＝0

，解得

a＝1 c＝?3

．
∴f（x）=x³-3x；
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=±1．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；
遞減區(qū)間為（-1，1）．
因此，f（x）在x=-1處取得極大值，且極大值為f（-1）=2；
（3）證明：由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
且f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M=f（-1）=2．最小值為m=f（1）=-2．
∴對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=4成立． 
即對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．