【導(dǎo)數(shù)】
（1）（u ± v）′＝ u′± v′
（2）（u v）′＝ u′v ＋ u v′
（記憶方法：u v ＋ u v ,分別在“u”上、“v”上加′）
（3）（c u）′＝ c u′（把常數(shù)提前）
╭ u ╮′u′v － u v′
（4）│——│ ＝ ———————（ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²
【關(guān)于微分】
左邊：d打頭
右邊：dx置后
再去掉導(dǎo)數(shù)符號(hào)′即可
【微分】
設(shè)函數(shù)u＝u（x）,v＝v（x）皆可微,則有：
（1）d（u ± v）＝ du ± dv
（2）d（u v）＝ du•v ＋ u•dv
╭ u ╮du•v － u•dv
（3）d│——│ ＝ ———————（ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²
（5）復(fù)合函數(shù)（由外至里的“鏈?zhǔn)椒▌t”）
dy
—— ＝ f′（u）•φ′（x）
dx
其中y ＝ f（u）,u ＝ φ′（x）
（6）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
1
[ fˉ¹（y）]′＝ —————
f′（x）
其中, f′（x）≠ 0
【導(dǎo)數(shù)】
注：【】里面是次方的意思
（1）常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（c）′＝ 0
（2）x的α次冪：
╭ 【α】╮′【α － 1】
│x│ ＝ αx
╰ ╯
（3）指數(shù)類：
╭ 【x】╮′【x】
│a│ ＝ alna（其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
╰ ╯
╭ 【x】╮′【x】
│e│ ＝ e
╰ ╯
（4）對(duì)數(shù)類：
╭╮′1 1
│log x│ ＝ ——log e ＝ ———（其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
╰a ╯ x axlna
1
（lnx）′＝ ——
x
（5）正弦余弦類：
（sinx）′＝ cosx
（cosx）′＝ －sinx
【微分】
注：【】里面是次方的意思
（1）常數(shù)的微分：
dC ＝ 0
（2）x的α次冪：
【α】 【α － 1】
dx＝ αxdx

（3）指數(shù)類：
【x】【x】
da＝ alnadx（其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）

【x】 【x】
de ＝ edx
（4）對(duì)數(shù)類：
1 1
dlog x ＝ ——log e ＝ ———dx（其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
ax axlna
1
dlnx ＝ ——dx
x
（5）正弦余弦類：
dsinx ＝ cosxdx
dcosx ＝ －sinxdx
【導(dǎo)數(shù)】
（6）其他三角函數(shù)：

（tanx）′＝ ———— ＝ sec²x
cos²x
1
（cotx）′＝ － ———— ＝ －csc²x
sin²x
（secx）′＝ secx•tanx
（cscx）′＝ －cscx•cotx
（7）反三角函數(shù)：
1
（arcsinx）′＝ ———————（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
（arccosx）′＝ － ———————（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
（arctanx）′＝ —————
1＋x²
1
（arccotx）′＝ － —————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函數(shù)：
1
dtanx ＝ ———— ＝ sec²xdx
cos²x
1
dcotx ＝ － ———— ＝ －csc²xdx
sin²x
dsecx ＝ secx•tanxdx
dcscx ＝ －cscx•cotx dx
（7）反三角函數(shù)：
1
darcsinx ＝ ———————dx（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
1
darccosx ＝ － ———————dx（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
1
darctanx ＝ —————dx
1＋x²
1
darccotx ＝ － —————dx
1＋x²
•
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）—— 中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【羅爾定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函數(shù)y ＝ f（x）滿足：
（1）在閉區(qū)間〔a ,b〕上連續(xù)；
（2）在開(kāi)區(qū)間（a ,b）上可導(dǎo).
則：在（a ,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（ a ＜ ξ ＜ b ）,使得
f（b）－ f（a）
f′（ξ）＝ ————————
b － a
【羅爾定理】
如果函數(shù)y ＝ f（x）滿足：
（1）在閉區(qū)間〔a ,b〕上連續(xù)；
（2）在開(kāi)區(qū)間（a ,b）上可導(dǎo)；
（3）在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f（a）＝ f（b）.
則：在（a ,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（ a ＜ ξ ＜ b ）,使得f′（ξ）＝0.
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）——求單調(diào)性、極值（輔助作圖）
【單調(diào)性】
（1）如果x ∈（a ,b）時(shí),恒有f′（x）＞ 0 ,
則f（x）在（a ,b）內(nèi)單調(diào)增加；
（2）如果x ∈（a ,b）時(shí),恒有f′（x）＜ 0 ,
則f（x）在（a ,b）內(nèi)單調(diào)減少.
【極值】
若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x₁處可導(dǎo),且f（x）在x₁處取得
極值,則f′（x₁）＝ 0 .
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（三）——曲線的凹向與拐點(diǎn)（輔助作圖 ）
【凹向】
設(shè)函數(shù)y ＝ f（x）在區(qū)間（a ,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),
（1）若當(dāng)x∈（a ,b）時(shí),恒有f〃（x）＞ 0 ,
則曲線y ＝ f（x）在區(qū)間（a ,b）內(nèi)上凹；
（2）若當(dāng)x∈（a ,b）時(shí),恒有f〃（x）＜ 0 ,
則曲線y ＝ f（x）在區(qū)間（a ,b）內(nèi)下凹.
【拐點(diǎn)】
曲線上凹與下凹的分界點(diǎn).
• 2009-4-24 10:06

• 回復(fù)
•
12樓
第一類：常數(shù)的積分
∫0dx ＝ C
∫dx ＝ x ＋ C （1的積分）
∫kdx ＝ kx ＋ C
第二類：x的α次冪的積分
【α】1【α＋1】
∫xdx ＝ ——— x ＋ C（α ≠ 1）
α＋1
第三類：倒數(shù)的積分【注意：絕對(duì)值】
1
∫——dx ＝ ln|x| ＋ C （x ≠ 0）
x
第四類：指數(shù)的積分
【x】1【x】
∫adx ＝ ——— a＋ C（a ＞ 0 ,a ≠ 1）
lna
【x】 【x】
∫edx ＝ e＋ C
第五類：三角函數(shù)的積分
∫sinxdx ＝ －cosx ＋ C
∫cosxdx ＝ sinx ＋ C
∫tanxdx ＝ －ln|cosx| ＋ C【選記】
∫cotxdx ＝ ln|sinx| ＋ C 【選記】
∫sec²xdx ＝ tanx ＋ C
∫csc²xdx ＝ －cotx ＋ C
第六類：結(jié)果為反三角函數(shù)
1
∫————dx ＝ arcsinx ＋ C ＝ －arccosx ＋ C₁
/￣￣￣
√ 1－x²
1
∫————dx ＝ arctanx ＋ C ＝ －arccotx ＋ C₁
1＋x²