這要運(yùn)用很高深的數(shù)學(xué)理論才能說的清楚,你老師有點(diǎn)不負(fù)責(zé)任,說出來又不解釋清楚.不過我試著簡(jiǎn)單的解釋.
通俗來說,可數(shù)性是指可通過用自然數(shù)來排序的數(shù)學(xué)性質(zhì),就像你老師說的那樣.我可以把這種排序列出來
1/2 1
1/3 2
2/3 3
1/4 4
(2/4 1相當(dāng)于1/2)
3/4 5
1/5 6
2/5 7
3/5 8
4/5 9
…… ……
只要一直無限地列下去,都會(huì)有一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)小于1的分?jǐn)?shù),說明小于1的分?jǐn)?shù)有可數(shù)性.而大于1的分?jǐn)?shù)都是自然數(shù)加上小于1的分?jǐn)?shù)（可數(shù)+可數(shù)）,所以也是可數(shù)的,這就證明有理數(shù)是可數(shù)的了.
可數(shù)就意味著分立,不連續(xù),無法把數(shù)軸上的點(diǎn)全覆蓋掉.因?yàn)樵跀?shù)軸上,無論兩個(gè)有理數(shù)點(diǎn)如何靠近,他們之間的有理數(shù)仍然是可數(shù)的,總是分立的.
要把數(shù)軸的點(diǎn)全覆蓋就需要全體實(shí)數(shù)來完成.就是說必須有無限不循環(huán)小數(shù)加上有理數(shù)才能把能表示整個(gè)數(shù)軸,因?yàn)閷?shí)數(shù)是不可數(shù)的,無法通過自然數(shù)去排序.數(shù)軸上無限小間隔的兩個(gè)數(shù)中間,實(shí)數(shù)仍然是不可數(shù),這就是連續(xù)性,不分立性.
然后再延伸到無窮大的概念.無窮大是有等級(jí)的,因?yàn)橛欣頂?shù)個(gè)數(shù)是無窮大,而實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)也是無窮大,但是前者是分立的,可數(shù)的,而后者則是連續(xù)的,不可數(shù)的,所以前者的無窮大和后者的無窮大是不一樣的.