最小值是9
過程是這樣的：
(1/a^2-1)(1/b^2-1)=(1/a+1)(1/a-1)(1/b+1)(1/b-1)
第二項(1/a-1)可以變?yōu)?1-a)/a,因為a+b=1,也就是這項可以等于b/a
同理,第四項可以等于(1-b)/b,也就等于a/b
那么這兩項就消掉了
所以整個式子變?yōu)?1/a+1)(1/b+1)=[(1+a)/a][(1+b)/b]=(1+a)(1+b)/ab=(1+a+b+ab)/ab
因為 a+b=1 所以等式繼續(xù)變?yōu)?(1+1+ab)/ab=2/ab+1
要此式的值最小,也就是要a*b的值最大
我不知道你有沒有學過高等數(shù)學,學過就好說了,a*b=a(1-a)=a-a^2 .①
要此式的值最大,需要對其求導 (a-a^2)'=1-2a
在此式等于0的時候,是①式的最大值,1-2a=0 于是解得a=0.5
代入原式中,得到原式最小值為9
如果你還沒有學過高等數(shù)學的話.那就有點麻煩,也許你可以試幾個值帶進去,就能大概看出規(guī)律,極值應該在a=b的時候.因為在此題中a與b的情況是完全相等的.如果答案不是a=b的時候,就會出現(xiàn)兩個最小值,但是這個簡單二次曲線只應該有1個谷,所以極值應該在a=b=0.5的位置
哦想起來了,在這種情況下,a+b=1,要a*b最大,你可以參考在周長一致的情況下,正方形比長方形的面積大,所以極值應該在a=b的時候