橢圓ax^2+by^2=1的短軸長是長抽長的一半,橢圓與直線x+2y+8=0相交于點(diǎn)P,Q,且PQ=10,求橢圓的方程

數(shù)學(xué)人氣：894 ℃時(shí)間：2020-04-17 08:34:41

優(yōu)質(zhì)解答

由c/a=√3/2 =>(a^2-b^2)/a^2=3/4
=>a^2=4*b^2
則橢圓方程可寫成x^2/（4*b^2)+y^2/b^2=1
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)
由 x^2/（4*b^2)+y^2/b^2=1與x+2y+8=0聯(lián)立得：
x^2-8x+32-2*b^2=0
則由韋達(dá)定理有：x1+x2=8,x1*x2=32-2*b^2 ----①
又由弦長公式有：（√(1+1/4))*√((x1+x2)^2-4*x1*x2)=√10 ----②
①②聯(lián)立解得：b^2=9
∴a^2=4*b^2=36
∴橢圓的方程為：x^2/36+y^2/9=1