1796年的一天,德國哥廷根大學(xué),一個(gè)很有數(shù)學(xué)天賦的19歲青年吃完晚飯,開始做導(dǎo)師單獨(dú)布置給他的每天例行的三道數(shù)學(xué)題.
前兩道題在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)就順利完成了.第三道題寫在另一張小紙條上：要求只用賀規(guī)和一把沒有刻度的直尺,畫出一個(gè)正17邊形.
他感到非常吃力.時(shí)間一分一秒的過去了,第三道題竟毫無進(jìn)展.這位青年絞盡腦汁,但他發(fā)現(xiàn),自己學(xué)過的所有數(shù)學(xué)知識(shí)似乎對解開這道題都沒有任何幫助.
困難反而激起了他的斗志：我一定要把它做出來!他拿起圓規(guī)和直尺,他一邊思索一邊在紙上畫著,嘗試著用一些超常規(guī)的思路去尋求答案.
當(dāng)窗口露出曙光時(shí),青年長舒了一口氣,他終于完成了這道難題.
見到導(dǎo)師時(shí),青年有些內(nèi)疚和自責(zé).他對導(dǎo)師說：“您給我布置的第三道題,我竟然做了整整一個(gè)通宵,我辜負(fù)了您對我的栽培……”
導(dǎo)師接過學(xué)生的作業(yè)一看,當(dāng)即驚呆了.他用顫抖的聲音對青年說：“這是你自己做出來的嗎?”青年有些疑惑地看著導(dǎo)師,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一個(gè)通宵.”
導(dǎo)師請他坐下,取出圓規(guī)和直尺,在書桌上鋪開紙,讓他當(dāng)著自己的面再做出一個(gè)正17邊形.
青年很快做出了一上正17邊形.導(dǎo)師激動(dòng)地對他說：“你知不知道?你解開了一樁有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案!阿基米德沒有解決,牛頓也沒有解決,你竟然一個(gè)晚上就解出來了.你是一個(gè)真正的天才!”
原來,導(dǎo)師也一直想解開這道難題.那天,他是因?yàn)槭д`,才將寫有這道題目的紙條交給了學(xué)生.
每當(dāng)這位青年回憶起這一幕時(shí),總是說：“如果有人告訴我,這是一道有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)難題,我可能永遠(yuǎn)也沒有信心將它解出來.”
這位青年就是數(shù)學(xué)王子高斯.
高斯用代數(shù)的方法解決的,他也視此為生平得意之作,還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上,但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形,而是十七角星,因?yàn)樨?fù)責(zé)刻碑的雕刻家認(rèn)為,正十七邊形和圓太像了,大家一定分辨不出來.
關(guān)于正十七邊形的畫法（高斯的思路,本人并非有意剽竊^_^）：
有一個(gè)定理在這里要用到的：
若長為|a|,|b|的線段可以用幾何方法做出來,那么長為|c|的線段也能用幾何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的實(shí)根.
上面的定理實(shí)際上就是在有線段長度|a|和|b|的時(shí)候,做出長為sqrt(a^2-4b)的線段.
（這一步,大家會(huì)畫吧?）
而要在一個(gè)單位圓中做出正十七邊形,主要就是做出長度是cos(2pai/17)的線段.
下面我把當(dāng)年高斯證明可以做出cos(2pai/17)的證明給出,同時(shí)也就給出了具體的做法.
設(shè)a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]