(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1＞x2（點A在點B右側(cè)）
將y=kx+2代入y=2x²,整理得
2x²-kx-2=0
∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.
∵M(jìn)是線段AB的中點,M的橫坐標(biāo)為(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x軸
∴N的橫坐標(biāo)為k/4
對函數(shù)y=2x²求導(dǎo),得 y'=4x
所以,拋物線在N點出的切線斜率k'=4×k/4=k
故 拋物線C在N點處的切線斜率與AB的斜率相等
即 拋物線C在點N處的切線于AB平行 .
(2)假設(shè)存在這樣的k
設(shè)N(x0,y0）,由第一問得x0=k/4,y0=2x0²=k²/8.
∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①
又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4,y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4
所以,可將①式整理為
k^4+12k²-64=0
解得k²=4或k²=-16(舍)
故存在k=±2滿足題意.