設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),且ab>0,證明：方程 aX^3+bX+c=0最多只有一個(gè)實(shí)根
設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),且ab>0,證明：方程 aX^3+bX+c=0最多只有一個(gè)實(shí)根
數(shù)學(xué)人氣：274 ℃時(shí)間：2020-05-10 05:52:03
優(yōu)質(zhì)解答
設(shè)函數(shù)y=aX^3+bX+c. 對x求導(dǎo),得到：y'=3aX^2+b. 若ab>0,則y'恒正,或恒負(fù),即原函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.又因?yàn)樵瘮?shù)在x趨向正無窮和趨向負(fù)無窮時(shí),分別趨向正負(fù)無窮,即存在兩個(gè)自變量取值,使函數(shù)值異號.所以,原方程y=aX^3+bX+c=0有且只有一個(gè)實(shí)根.不用二階導(dǎo)數(shù)有辦法證明嗎？
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