樓上的例子是正確的,但理論依據(jù)是錯(cuò)誤的.
數(shù)學(xué)分析里面指出,如果在定義域內(nèi)有有限的不連續(xù)點(diǎn),則函數(shù)可被黎曼積分.
但如果不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮的,則函數(shù)不能被黎曼積分.
設(shè)f(x) = 1若x為有理數(shù)且f(x)=0若x為無理數(shù),則f(x)在[0,1]上黎曼不可積 (其他積分方法仍然可能成立)
分析:因?yàn)橛欣頂?shù)和無理數(shù)在[0,1]內(nèi)都是稠密的,所以無論如何對[0,1]進(jìn)行分割,在每段小區(qū)間內(nèi)總有有理數(shù)和無理數(shù),所以函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的最小值是0,最大值是1,所以求和上限的極限是1,求和下限的極限是0,兩者不收斂于同一個(gè)值,所以黎曼不可積.